Функция и ее свойства

Переменная узависимая переменная Значение функциизначение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функциивсе значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четнойесли для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x) Функция является нечетнойесли для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x) Возрастающая функцияесли для любых х 1 и х 2 , таких, что х 1 х 2 , выполняется неравенство f( х 1 ) х 2 ) Убывающая функцияесли для любых х 1 и х 2 , таких, что х 1 х 2 , выполняется неравенство f( х 1 )>f( х 2 ) Способы задания функции Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.

Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у =f(x) , где f(x)- ы с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически. На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента.

Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов. Виды функций и их свойства 1) Постоянная функцияфункция, заданная формулой у= b , где bнекоторое число.

Графиком постоянной функции у= b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0 ;b ) на оси ординат 2) Прямая пропорциональностьфункция, заданная формулой у= kx , где к ¹ 0. Число k называется коэффициентом пропорциональности. C войства функции y=kx : 1. Область определения функциимножество всех действительных чисел 2. y=kx - нечетная функция 3. При k>0 функция возрастает, а при k убывает на всей числовой прямой 3)Линейная функцияфункция, которая задана формулой y=kx+b , где k и b - действительные числа. Если в частности, k=0 , то получаем постоянную функцию y=b ; если b=0 , то получаем прямую пропорциональность y=kx . Свойства функции y=kx+b : 1. Область определениямножество всех действительных чисел 2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна. 3. При k>0 функция возрастает, а при k убывает на всей числовой прямой Графиком функции является прямая. 4)Обратная пропорциональностьфункция, заданная формулой y=k /х, где k ¹ 0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k / x: 1. Область определениямножество всех действительных чисел кроме нуля 2. y=k / x - нечетная функция 3. Если k>0 , то функция убывает на промежутке (0 ;+ ) и на промежутке ( - ;0). Если k , то функция возрастает на промежутке ( - ;0) и на промежутке (0 ;+ ) . Графиком функции является гипербола. 5)Функция y=x 2 Свойства функции y=x 2 : 1. Область определениявся числовая прямая 2. y=x 2 - четная функция 3. На промежутке [0;+ ) функция возрастает 4. На промежутке (- ; 0 ] функция убывает Графиком функции является парабола. 6)Функция y=x 3 Свойства функции y=x 3 : 1. Область определениявся числовая прямая 2. y=x 3 - нечетная функция 3. Функция возрастает на всей числовой прямой Графиком функции является кубическая парабола 7)Степенная функция с натуральным показателемфункция, заданная формулой y=x n , где n - натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x , ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x 2 ; y=x 3 . Их свойства рассмотрены выше. Пусть nпроизвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 2 . График функции напоминает параболу y=x 2 , только ветви графика при |х| >1 тем круче идут вверх, чем больше n , а при |х| тем «теснее прижимаются» к оси Х, чем больше n . Пусть n - произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 3 . График функции напоминает кубическую параболу. 8)Степенная функция с целым отрицательным показателемфункция, заданная формулой y=x -n , где n - натуральное число. При n=1 получаем y=1 /х, свойства этой функции рассмотрены в п.4. Пусть nнечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x -n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1 /х. Пусть nчетное число, например n=2 . Свойства функции y=x -2 : 1. Функция определена при всех x ¹ 0 2. y=x -2 - четная функция 3. Функция убывает на (0 ;+ ) и возрастает на (- ; 0). Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух. 9)Функция y= х Свойства функции y= х : 1. Область определения - луч [0;+ ). 2. Функция y= х - общего вида 3. Функция возрастает на луче [0;+ ). 10)Функция y= 3 х Свойства функции y= 3 х : 1. Область определениявся числовая прямая 2. Функция y= 3 х нечетна. 3. Функция возрастает на всей числовой прямой. 11)Функция y= n х При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y= х . При нечетном n функция y= n х обладает теми же свойствами, что и функция y= 3 х. 12)Степенная функция с положительным дробным показателемфункция, заданная формулой y=x r , где r - положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x r : 1. Область определениялуч [0;+ ). 2. Функция общего вида 3. Функция возрастает на [0;+ ). На рисунке изображен график функции y=x 5 /2 . Он заключен между графиками функций y=x 2 и y=x 3 , заданных на промежутке [0;+ ). Подобный вид имеет любой график функции вида y=x r , где r>1. На рисунке изображен график функции y=x 2 /3 . Подобный вид имеет график любой степенной функции y=x r , где 0 13) Степенная функция с отрицательным дробным показателемфункция, заданная формулой y=x -r , где r - положительная несократимая дробь.